यदि $1 + \sin \theta + \sin^2 \theta + \dots \text{ अनंत तक } = 4 + 2\sqrt{3}$,जहाँ $0 < \theta < \pi$ और $\theta \neq \frac{\pi}{2}$,तो $\theta = $

$a_{n} = (n-1)(2-n)(3+n)$ द्वारा परिभाषित अनुक्रम का $20$ वाँ पद क्या है?

$2^2 + 4^2 + 6^2 + \dots + (2n)^2 = \dots$

$\sum_{k=1}^{\infty} \sum_{r=0}^k \frac{1}{3^k} \binom{k}{r}$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि श्रेणी $\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{2^2}-\frac{1}{2 \cdot 3}+\frac{1}{3^2}\right)+\left(\frac{1}{2^3}-\frac{1}{2^2 \cdot 3}+\frac{1}{2 \cdot 3^2}-\frac{1}{3^3}\right)+\left(\frac{1}{2^4}-\frac{1}{2^3 \cdot 3}+\frac{1}{2^2 \cdot 3^2}-\frac{1}{2 \cdot 3^3}+\frac{1}{3^4}\right)+\ldots$ का योग $\frac{\alpha}{\beta}$ है,जहाँ $\alpha$ और $\beta$ सह-अभाज्य हैं,तो $\alpha+3\beta$ का मान ज्ञात कीजिए।

उस अनुक्रम के प्रथम पाँच पद लिखिए जिसका $n^{th}$ पद $a_{n} = \frac{n}{n+1}$ है।